為抑制空間柔性桁架結(jié)構(gòu)的低頻振動，采用壓電桿件進(jìn)行優(yōu)化配置實(shí)現(xiàn)桁架結(jié)構(gòu)的振動主動控制；建立了空間桁架結(jié)構(gòu)主動壓電桿件的機(jī)電耦合模型，利用ANSYS前處理功能編制了壓電桁架的機(jī)電耦合有限元程序；將可控性度量指標(biāo)與逐步消減法相結(jié)合，實(shí)現(xiàn)了空間桁架結(jié)構(gòu)主動桿件的優(yōu)化配置；對結(jié)構(gòu)進(jìn)行初始位移擾動、正弦激勵(lì)以及隨機(jī)激勵(lì)，并采用最優(yōu)模態(tài)控制算法進(jìn)行振動抑制仿真分析，對上述方法進(jìn)行驗(yàn)證且建立振動控制評價(jià)指標(biāo)進(jìn)行評價(jià)；結(jié)果表明將可控性度量指標(biāo)與逐步消減法相結(jié)合的方法可有效抑制空間柔性桁架結(jié)構(gòu)的振動。

關(guān)鍵詞：空間桁架；振動控制；優(yōu)化配置；模態(tài)控制

0 引言

近年來，大型化、低剛度、柔性化是各衛(wèi)星天線結(jié)構(gòu)發(fā)展的重要趨勢，然而該類柔性結(jié)構(gòu)具有模態(tài)阻尼小等特性，當(dāng)在太空運(yùn)行受到外界激勵(lì)時(shí)，若不采取措施對其振動進(jìn)行抑制，則振動將會持續(xù)很久，造成定向精度、姿態(tài)穩(wěn)定等問題，嚴(yán)重時(shí)可能導(dǎo)致結(jié)構(gòu)受到破壞，降低結(jié)構(gòu)使用壽命[1-2]。

由于壓電陶瓷材料具有剛度高、頻帶寬、高轉(zhuǎn)換率、質(zhì)量輕等特點(diǎn)，在桁架結(jié)構(gòu)中常被用于制作傳感器和作動器。鄭凱等人設(shè)計(jì)了采用壓電堆作動器的壓電主動構(gòu)件[3]；曹玉巖等人根據(jù)有限元理論和Hamilton原理建立了平面智能桁架結(jié)構(gòu)動力學(xué)模型，并根據(jù)線性二次型最優(yōu)控制理論建立了最優(yōu)振動控制模型[4]；陳文英等人基于Lyapunov綜合法設(shè)計(jì)了一種穩(wěn)定的直接型自適應(yīng)模糊主動振動控制器并在一平面16桿智能桁架結(jié)構(gòu)進(jìn)行了仿真驗(yàn)證[5]；Marinaki 等人研究了應(yīng)用PSO 算法優(yōu)化的模糊控制器進(jìn)行梁的振動控制[6]；Sun 研究了撓性航天器的模糊預(yù)測振動[7]；Zhu 等人研究了采用滑模模糊進(jìn)行撓性航天器的振動和姿態(tài)機(jī)動控制[8]；所有這些研究都取得了較好的控制結(jié)果，然而關(guān)于空間桁架結(jié)構(gòu)振動的研究很少；Armaghan等人建立了桁架結(jié)構(gòu)三維梁模型[9]；李東旭等人采用遺傳算法得到了作動器和傳感器在大型智能桁架系統(tǒng)中的最優(yōu)位置并利用T字型桁架結(jié)構(gòu)進(jìn)行了驗(yàn)證性試驗(yàn)，然而遺傳算法中各參數(shù)需主觀確定且計(jì)算速度較慢[10]。

針對作動器、傳感器位置優(yōu)化問題，目前已經(jīng)提出了多種作動器傳感器優(yōu)化配置準(zhǔn)則，主要有可控度可觀測準(zhǔn)則、系統(tǒng)能量準(zhǔn)則、系統(tǒng)響應(yīng)準(zhǔn)則、可靠性準(zhǔn)則、控制溢出觀測溢出準(zhǔn)則等?？煽囟葴?zhǔn)則具有明確的物理意義，不需要與控制算法聯(lián)立，求解簡單有效，獲得廣泛的應(yīng)用。劉福強(qiáng)[11]利用逐步消減法對作動器傳感器配置做了優(yōu)化，提高了求解效率，Sylvaine L從基于能量的角度出發(fā)，給出了3種不同的準(zhǔn)則來配置作動器輸入能量最小準(zhǔn)則、結(jié)構(gòu)總能量最小準(zhǔn)則，可控性格蘭姆矩陣特征值最大準(zhǔn)則，并且指出，在阻尼較小的情況下，它們是等價(jià)的，并給出了可控度綜合指標(biāo)[12]。

本文以空間柔性桁架結(jié)構(gòu)為研究對象，首先建立了空間桁架結(jié)構(gòu)主動壓電桿件的機(jī)電耦合模型，并利用ANSYS、Matlab編制了空間桁架結(jié)構(gòu)動力學(xué)分析程序；其次將綜合可控度指標(biāo)與逐步消減法結(jié)合實(shí)現(xiàn)主動壓電桿件的優(yōu)化配置；最后采用最優(yōu)模態(tài)控制算法進(jìn)行了空間桁架結(jié)構(gòu)的控制仿真驗(yàn)證，并進(jìn)行振動控制效果評價(jià)。

1 空間桁架動力學(xué)模型

1.1 壓電桿件作動理論

桁架結(jié)構(gòu)主動桿件采用多層式壓電陶瓷驅(qū)動器，如圖1所示，φ為壓電薄片兩端電勢差，t為壓電薄片厚度，L為壓電桿件長度，N1、N2分別為桿件兩端軸向力。

圖1 壓電桿件

若只考慮桿軸方向的壓電效應(yīng)，圖1所示壓電桿件的力平衡方程和電荷平衡方程為

(1)

其中:e33為軸向壓電系數(shù)，c33為軸向彈性系數(shù)，ε33為軸向介電系數(shù)。

每個(gè)壓電薄片均可視為平行板電容器，若沒有泄漏電流，電荷量{Q}與施加于壓電薄片外電壓{V}之間關(guān)系為

(2)

其中2，ci為第i根壓電桿的等效電容參數(shù)，Ai為第i根壓電桿截面積，m為壓電桿件總數(shù)。

采用有限元方法[14]，對公式(2)進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，用Guran方法消去電勢差，得到壓電作動器的有限元?jiǎng)恿W(xué)方程為

(3)

壓電單元端部需要連接普通桿件或預(yù)壓彈簧，此時(shí)壓電主動桿件需考慮耦合剛度項(xiàng)和電荷載向量，力平衡方程如式(4)所示：

(4)

其中:Δ=k1k2+k1k3+k3k2，k1,k3為連接壓電單元兩端的桿件或彈簧剛度，k2為壓電單元的剛度，。

1.2 空間桁架結(jié)構(gòu)模型及動力學(xué)分析

本文研究的空間桁架簡化結(jié)構(gòu)如圖2所示，該結(jié)構(gòu)共由12個(gè)正六面體柔性桁架單元組成，共52個(gè)單元，161根桿件。桁架單元如圖3所示，每個(gè)單元均由空心球體、彈簧和空心桿組成，共8個(gè)節(jié)點(diǎn)、18根空心桿，其中包括12個(gè)邊長桿及6個(gè)對角桿?？招那蝮w和空心桿材料均為不銹鋼。所有節(jié)點(diǎn)均為彈性平移鉸，節(jié)點(diǎn)內(nèi)部連接情況如圖4所示。

圖2 空間桁架結(jié)構(gòu)

圖3 桁架單元模型

圖4 桁架節(jié)點(diǎn)內(nèi)部結(jié)構(gòu)

由于桿件節(jié)點(diǎn)較多，先利用ANSYS命令流生成桁架結(jié)構(gòu)有限元模型，利用APDL語言編寫提取出單元編號及對應(yīng)節(jié)點(diǎn)編號和位置信息儲存到數(shù)組，將數(shù)組導(dǎo)入MATALAB編寫程序。

桿端彈簧按照與桿件串聯(lián)處理，凸出的六面體認(rèn)為固定在航天器上，空心球按集中質(zhì)量處理，對結(jié)構(gòu)進(jìn)行模態(tài)分析，分析結(jié)果如表1所示。

表1 空間桁架模態(tài)分析結(jié)果

階數(shù)頻率/(Hz)振型第一階5.4975X向反對稱振動第二階5.6299Y向反對稱振動第三階10.323X向彎曲振動第四階11.433Y向彎曲振動第五階22.08XY向扭轉(zhuǎn)振動

結(jié)果表明，前5階模態(tài)主要為X及Y方向的振動，因此在對結(jié)構(gòu)桁架進(jìn)行振動控制時(shí)主要對X方向及Y方向進(jìn)行控制。

2 主動桿件優(yōu)化配置

隨著大型航天結(jié)構(gòu)控制技術(shù)的發(fā)展，主動桿件的位置優(yōu)化是一個(gè)重要問題。通過主動桿件位置的選擇，可改善控制器的性能。合適的優(yōu)化位置不但影響控制效果，且影響控制系統(tǒng)能量的消耗。本文基于可控性度量指標(biāo)和逐步消減法進(jìn)行主動桿件的優(yōu)化配置。

將式(3)表達(dá)為狀態(tài)方程形式，離散化后如式(5)所示：

(5)

記，其中nc為控制模態(tài)數(shù)目。

系統(tǒng)的可控性格蘭姆矩陣Wc如式(6)所示：

(6)

定義作動器系統(tǒng)的可控性度量指標(biāo)如式(7)所示[12,13]：

(7)

指標(biāo)值越大，系統(tǒng)可控度越高。逐步消減法[12]是從剩余的作動器的候選位置中去掉一個(gè)對目標(biāo)函數(shù)貢獻(xiàn)小的候選位置，直至目標(biāo)數(shù)目的候選位置，當(dāng)s個(gè)可選位置上配置有作動器時(shí)，矩陣Pc的維數(shù)為2ncs×2nc，則式(6)表達(dá)如下

(8)

pi為矩陣Pc的第i行數(shù)據(jù)。刪除一個(gè)作動器的可選位置時(shí)有：

(9)

pj為Pc中與這個(gè)作動器可選位置相關(guān)聯(lián)的2nc行數(shù)據(jù)。

優(yōu)化μ1，μ2，μ3過程中，刪除μ1(Wcs-1)，μ2(Wcs-1)，μ3(Wcs-1)最大值相應(yīng)位置的桿件，以保證剩余桿件的配置可控度最大。逐步消減法主動桿件優(yōu)化配置結(jié)果如表2所示。

表2 逐步消減法主動桿件優(yōu)化配置

優(yōu)化目標(biāo)μ1μ2μ3控制階數(shù)配置桿數(shù)配置桿件號111461461462217,1246,1136,113336,17,1136,17,1136,17,113446,7,17,1136,7,17,1136,7,17,113

結(jié)果表明3種指標(biāo)的優(yōu)化結(jié)果接近，在控制第二階模態(tài)時(shí)桿件配置略有差別且高階模態(tài)配置時(shí)基本包括了低階模態(tài)配置的桿件。

3 控制仿真與分析

為驗(yàn)證主動桿件優(yōu)化配置的有效性，對上述模型在主動桿件優(yōu)化配置及主動桿件選配位置兩種情況進(jìn)行振動控制仿真計(jì)算。對式(3)進(jìn)行模態(tài)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，結(jié)果如下：

(10)

其中為模態(tài)控制力。

本文基于模態(tài)濾波技術(shù)[15]，利用最優(yōu)模態(tài)控制算法實(shí)現(xiàn)控制仿真分析。動力學(xué)方程解耦后，每階模態(tài)的控制利用LQR方法，其中權(quán)矩陣Qi表征了對第i階模態(tài)的勢能、動能的控制要求，Ri反映了對主動桿件的控制能量要求。Qi按下式選?。?/p>

(11)

ki，mi為相應(yīng)i階相應(yīng)的模態(tài)剛度，模態(tài)質(zhì)量，ai，bi為對應(yīng)的權(quán)系數(shù)，通過調(diào)整權(quán)系數(shù)可以實(shí)現(xiàn)不同的控制要求。

3.1 仿真計(jì)算

分別在桁架節(jié)點(diǎn)1，2，37，38，13，14，25，26，23，24，35，36 處的X，Y，Z三個(gè)方向施加0.1 mm位移，節(jié)點(diǎn)11，12，47，48處的X，Y，Z方向施加-0.1 mm位移。

根據(jù)優(yōu)化配置結(jié)果選取6，7，17，113號桿件作為主動桿件。節(jié)點(diǎn)1位移響應(yīng)如圖5所示。為檢驗(yàn)優(yōu)化配置的效果，選配39，95，117，146號桿件為主動桿件，取相同的控制權(quán)系數(shù)，此時(shí)節(jié)點(diǎn)1位移響應(yīng)如圖6所示，兩種配置時(shí)的控制電壓分別如圖7，圖8所示。

圖5 優(yōu)化配置時(shí)1節(jié)點(diǎn)位移響應(yīng)

圖6 選配位置時(shí)1節(jié)點(diǎn)位移響應(yīng)

圖7 優(yōu)化位置控制電壓

圖8 選配位置控制電壓

圖5表明，XY向振動得到明顯抑制，但Z向振動控制效果不明顯，這是因?yàn)榍八碾A沒有Z向的主振動，結(jié)構(gòu)自身衰減較快。圖6表明，XY向振動得到抑制，但Z向振動出現(xiàn)較大過調(diào)。圖7表明，優(yōu)化位置控制電壓峰值在400 V左右，而圖8表明，選配位置控制電壓峰值接近20 000 V，因此優(yōu)化位置控制電壓分布更合理。

圖5～圖8結(jié)果表明，優(yōu)化配置時(shí)的控制效果明顯優(yōu)于選配位置。

3.2 控制仿真效果評價(jià)

根據(jù)式(12)確定控制仿真過程中結(jié)構(gòu)反應(yīng)的峰值和均方值的評價(jià)指標(biāo)：

(12)

其中:分母表示對應(yīng)項(xiàng)的無控值，分子代表對應(yīng)的有控值。|·|表示取絕對值，表示取時(shí)域均方值，對于離散的時(shí)域值取其歐式范數(shù)值。這兩個(gè)指標(biāo)可以表征對位移響應(yīng)峰值和最大位移響應(yīng)的綜合抑制效果。

仿真過程中作動器評價(jià)指標(biāo)如公式(13)所示：

(13)

其中：s為作動器個(gè)數(shù)，W(t)=1 000 V為擊穿電壓。s和W(t)可表征電壓峰值和控制能量。

對初始位移擾動，位移衰減時(shí)間指標(biāo)具體定義為：

(14)

其中:tki，ti分別定義為第i節(jié)點(diǎn)施加控制和沒有控制時(shí)位移響應(yīng)衰減到結(jié)構(gòu)無控時(shí)該點(diǎn)位移響應(yīng)最大值5%所需的時(shí)間，為結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)總數(shù)。Jt可綜合評價(jià)結(jié)構(gòu)振動衰減快慢。

相同初始條件或相同激勵(lì)信號下，初始位移擾動的控制評價(jià)結(jié)果見表3。

按照定義的評價(jià)指標(biāo)，對正弦激勵(lì)，隨機(jī)激勵(lì)的振動控制進(jìn)行驗(yàn)證。選配124號桿件為激勵(lì)桿件，同時(shí)配置6，7，17，113號桿件作為控制桿件進(jìn)行正弦激勵(lì)及隨機(jī)激勵(lì)的控制仿真效果評價(jià)。正弦激勵(lì)電壓信號假定為：

隨機(jī)激勵(lì)電壓信號為0-200 V平穩(wěn)隨機(jī)信號，評價(jià)結(jié)果見表4。

從表3，表4可以清楚地比較控制效果，可以發(fā)現(xiàn)優(yōu)化位置的各項(xiàng)指標(biāo)值明顯優(yōu)于非優(yōu)化位置，振動抑制效果明顯，控制能耗低，整體結(jié)構(gòu)的振動控制效果良好。評價(jià)結(jié)果表明本文采用的桿件優(yōu)化措施和控制算法對大型桁架結(jié)構(gòu)的整體振動控制是非常有效的。對于其他的不同邊界條件，可以按照同樣的方法給出評價(jià)，也可以對不同的控制算法進(jìn)行控制效果評價(jià)。

表3 初始位移擾動振動控制評價(jià)

邊界條件位移條件控制桿件JtJjxJfzJX向初始位移擾動a1460.12420.45240.02590.00331340.314450.456910.142920.018850.288671.43875.41590.70202146(權(quán)系數(shù)調(diào)整)0.09810.404420.07320.0062XY向初始位移擾動b17,1240.11760.398650.0772490.01147125,1340.189610.460940.494660.0673197,1340.307381.1854.1751.0949較多初始位移擾動6,7,17,1130.100940.284140.423120.06403639,95,117,1460.11030.4681819.60791.844539等(權(quán)系數(shù)調(diào)整)0.27810.524251.93940.38041

(1. X向初始位移擾動為節(jié)點(diǎn)1X向施加0.1 mm初始位移，節(jié)點(diǎn)24X向施加-0.1 mm初始位移; 2. X、Y向初始位移擾動為節(jié)點(diǎn)1X、Y向施加0.1 mm初始位移，節(jié)點(diǎn)24X、Y向施-0.1 mm初始位移)

表4 正弦、隨機(jī)振動控制評價(jià)

邊界條件激勵(lì)形式控制桿件JfxJjxJfzJ124桿正弦激勵(lì)6,7,17,1130.58800.600170.26370.302096等(權(quán)系數(shù)調(diào)整)0.297560.293870.46610.46386124桿隨機(jī)激勵(lì)6,7,17,1130.321880.452670.09270.054686等(權(quán)系數(shù)調(diào)整)0.225360.272950.17490.15582

4 結(jié)論

本文研究了空間柔性桁架結(jié)構(gòu)的振動抑制問題，完成了結(jié)構(gòu)動力學(xué)建模、主動桿件的優(yōu)化配置以及振動主動控制仿真，主要結(jié)論如下：

1)建立了考慮剛性連接和彈性連接的壓電桿件的機(jī)電耦合模型，并采用ANSYS、Matlab編制了空間柔性桁架結(jié)構(gòu)動力學(xué)分析程序，為動力學(xué)分析和控制研究提供了方法和研究基礎(chǔ)。

2)提出了可控性度量指標(biāo)與逐步消減法相結(jié)合的優(yōu)化方法，實(shí)現(xiàn)了空間桁架結(jié)構(gòu)主動桿件的優(yōu)化配置。

3)采用模態(tài)最優(yōu)控制算法實(shí)現(xiàn)了空間桁架結(jié)構(gòu)的振動控制仿真，表明優(yōu)化配置的振動抑制效果優(yōu)于非優(yōu)化配置，并且整體結(jié)構(gòu)振動控制效果良好。